Spé math [reloaded]

n°79 p93
" 1/ (2^11)-1 est-il premier? "

comment aborder la question? je vois meme pas par ou commencer...
et puis la suite de l'exercice est pas cool non plus!
si qqu'un a la soluce, merci d'avance!

Je ne suis pas sûr que ce que je propose soit la solution attendue mais je ne vois pas d'autres solutions.
(2^11) - 1 = 2047
Si 2047 admet un diviseur strict d alors il peut s'écrire 2047 = d*d'. d' est donc aussi forcément un diviseur strict de 2047. On choisit d inférieur à d'. d < d'
<=> d*d < d*d'
<=> d^2 <2047
<=> d < 46

2047 n'est pas pair donc il n'est pas divisible par 2 et ses multiples.
2 + 0 + 4 + 7 = 13 non multiple de 3 donc 2047 n'est pas multiple de 3 ni de ses multiples.
2047 ne finit ni par 0 ni par 5 donc il n'est pas divisible par 5.
Il reste alors à vérifier que 2047 n'est pas divisible par 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43!
2047 = 186*11 + 1
2047 = 157*13 + 6
2047 = 120*17 + 8
2047 = 107*19 + 14
2047 = 89*23 donc 2047 admet des diviseurs strictes donc il n'est pas premier.
Ca devrait être juste, je n'ai pas refléchi à la suite de l'exo comme il se fait un peu tard là lol. Je repasserai demain pour voir si tu as besoin d'aide (et pour voir si tu confirmes ma réponse lol)

pauvres petits S, je compatie

ah ok! en fait je pensais qu'il y aurait un théorème ou un corollaire caché derrière cette puissance, mais apparemment non...!
merci!

Quand je vois ça, je sens que j'eprouve un grand amour pour la philo